Maximal nilpotente Teilstrukturen II: Eine Korrespondenz in auflösbaren Algebren; mit 187 Übungsaufgaben

In Band II dieser Serie führen wir die Theorie maximal nilpotenter Teilstrukturen für auflösbare assoziative Algebren fort. Dabei dehnen wir die Thematik auch auf ihre Einheitengruppe aus. Thorsten Bauer zeigt in seiner Dissertation, dass die Carter-Untergruppen genau die Einheitengruppen der Cartan-Teilalgebren sind. Diesen Zusammenhang beweisen wir auch für die Fitting-Untergruppe und dem Nilradikal. Wir konstruieren sämtliche maximal nilpotente Lie-Teilalgebren und beschreiben sie durch Mehrfach-Zentralisatoren. Sie zeigen ausgeprägte Attraktor- und Repeller-Eigenschaften auf. Ihre Isomorphien-Zahl ist endlich und durch Bell-Zahlen nach oben abschätzbar. Cartan-Teilalgebren und das Nilradikal erweisen sich als extremal. Die maximal nilpotenten Untergruppe stehen in 1:1-Korrespondenz durch Einheitengruppen- und K-Erzeugnis-Bildung zu den maximal nilpotenten Lie-Teilalgebren. Zwei korrespondierende Partner haben nach den Satz von Du dieselbe Nilpotenzklasse. Mit Hilfe der Korrespondenz können wir die Ergebnisse auf die maximal nilpotenten Untergruppen übertragen. Auch hier erweisen sich die Carter-Untergruppen und die Fitting-Untergruppe als extremal. Die vier extremalen Teilstruktur kennzeichnen wir schliesslich mit den Fischer-Untergruppen, den Fischer-Teilalgebren, den nilpotenten Injektoren und Projektoren. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben illustrieren die Ergebnisse. In Band III werden wir die Ergebnisse auf verschiedene auflösbare Algebren wie Gruppenalgebren und Solomon-(Tits)-Algebren anwenden.

Autorentext

Sven Bodo Wirsing was born in 1975 in Neumünster. After graduating from high school at KKS in Itzehoe (with a focus on mathematics and physics), he studied mathematics with a minor in business administration (especially logistics) at CAU university in Kiel. He did his doctorate in 2005 on group and algebra theory. During his years of study in Kiel he gained experience in the analysis of interdisciplinary processes, which are reflected in different disciplines of algebra, such as group theory, representation theory, theory of Lie and associative algebras. From this experience, he also studied and analyzed the subject matter of the present work. Since the end of his doctorate, Dr. Wirsing has been working as a senior IT consultant for logistics processes at several renowned companies where he is responsible for logistics optimization and maintenance. Since 2012 he has published several books on algebras.

Leseprobe
Einleitung
In Band I dieser Serie wurden zwei Hauptthemen bearbeitet: zum einen die Ermittlung der Cartan-Teilalgebren und zum anderen die des Nilradikals der assoziierten Lie-Algebra A einer endlich-dimensionalen assoziativen unitären Algebra A. Beide Lie-Teilstrukturen gehören zu den maximal nilpotenten Lie-Teilalgebren von A. Ist die Radikalfaktorstruktur separabel, so gibt es nach dem Satz von Wedderburn-Malcev ein Radikalkomplement T des Radikals rad(A) von A. Mit Hilfe des Radikalkomplementes konnten wir in Band I in vielen Algebrenklassen die Cartan-Teilalgebren und auch das Nilradikal von A beschreiben. Speziell im auflösbaren Fall von A (d.h., wenn die Faktoralgebra A=rad(A) und die Teilalgebra T kommutativ sind) haben wir eingesehen, dass die Zentralisatoren der Radikalkomplemente { also CA(T) { die Cartan-Teilalgebren von A sind. Dieses Ergebnis wurde orginär von Thorsten Bauer in seiner Dissertation [4] bewiesen. Insbesondere sind die Cartan-Teilalgebren wieder assoziative Teilalgebren. Mit Hilfe des Satzes von Wedderburn-Malcev folgt daraus weiter, dass alle Cartan- Teilalgebren unter der Gruppe 1 + rad(A) konjugiert sind. Betrachten wir weiter den zentralen Anteil von T { also Z(A) T { so haben wir in Band I zudem bewiesen, dass erstens Z(A) T das Radikalkomplement des Zentrums von A ist und zweitens die direkte Summe von rad(A) und Z(A) T das Nilradikal von A ergibt. Der vorliegende Band II führt diese Theorie im auflösbaren Fall von A weiter fort. Die folgenden Leitfragen bilden die Grundlage der Analysen in diesem Buch: Wie können im auflösbaren Fall von A sämtliche maximal nilpotente Lie- Teilalgebren von A beschrieben und konstruiert werden? Welche besondere Stellung haben das Nilradikal und die Cartan-Teilalgebren unter diesen? Was sind die Carter-Untergruppen und was ist die Fitting-Untergruppe der Einheitengruppe E(A) im auflösbaren Fall von A? Wie können im auflösbaren Fall von A sämtliche maximal nilpotente Untergruppen von E(A) beschrieben und konstruiert werden? Welche besondere Stellung haben die Fitting-Untergruppe und die Carter- Untergruppen unter diesen? Gibt es strukturelle Beziehungen zwischen den maximal nilpotenten Lie- Teilalgebren und Untergruppen? In Kapitel 1 stellen wir kurz eine Übersicht der verwendeten Strukturen (wie z.B. KG für die Gruppenalgebra) zusammen. Mit diesen werden wir einerseits die Ergebnisse illustrieren, andererseits dienen sie als Beispielmaterial für die zahlreichen Übungsaufgaben zu jedem Kapitel, in denen der Leser das Erlernte anwenden möge. Zur Beantwortung der Frage, ob es strukturelle Beziehungen zwischen maximal nilpotenten Untergruppen und Lie-Teilalgebren gibt, werden wir die Hauptaussage des zweiten Kapitels immer wieder in diesem Werk nutzen. Dabei handelt es sich um den Satz von Xiankun Du von 1992, der für Radikalalgebren zeigt, dass die aufsteigenden Zentralreihen der assoziierten Lie-Algebra und der quasiregulären Gruppe { eine Verallgemeinerung der Einheitengruppe { in jedem Schritt übereinstimmen. Insbesondere bedeutet dies, dass die Nilpotenzklassen dieser beiden Struturen übereinstimmen, eine Aussage, die Stephen Arthur Jennings bereits fast 40 Jahre zuvor vermutet hatte und die von Hartmut Laue in den 80iger Jahren teilweise bewiesen worden war. Es ist oft bequemer, die Nilpotenzklasse der Lie-Algebra und nicht die der quasiregulären Gruppe zu berechnen. Zum Beispiel sind Radikale assoziativer Algebren Radikalalgebren. In unserem Kontext werden wir dieses Resultat benutzen, um Beziehungen bzgl. den Nilpotenzklassen maximal nilpotenter Lie-Teilalgebren und Untergruppen herzuleiten. Exkursartig zeigen wir am Ende von Kapitel 2 noch eine weitere Anwendung des Satzes von Xiankun Du. Betrachtet man die aufsteigende Zentralreihe der quasiregulären Gruppe einer Radikalalgebra und dabei sukzessive die Faktorgruppen, dann sind diese per De_nition der Zentralreihe abelsche Gruppen. Im Falle einer Radikal-Alge