47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist.

Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor kommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!...-a.

Inhalt
Erstes Kapitel Die natürlichen Zahlen.- 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen.- 1. Gesetze der Arithmetik.- 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen.- 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen.- 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion.- 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion.- 2. Die arithmetische Reihe.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Summe der ersten n Quadrate.- 5. Eine wichtige Ungleichung.- 6. Der binomische Satz.- 7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion.- Ergänzung zu Kapitel I. Zahlentheorie.- 1. Die Primzahlen.- 1. Grundtatsachen.- 2. Die Verteilung der Primzahlen.- a) Formeln zur Konstruktion von Primzahlen.- b) Primzahlen in arithmetischen Folgen.- c) Der Primzahlsatz.- d) Zwei ungelöste Probleme, die Primzahlen betreffen.- 2. Kongruenzen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Der kleine Fermatsche Satz.- 3. Quadratische Reste.- 3. Pythagoreische Zahlen und großer Fermatscher Satz.- 4. Der euklidische Algorithmus.- 1. Die allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik.- 3. Eulers?-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz.- 4. Kettenbrüche. Diophantische Gleichungen.- Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik.- 1. Die rationalen Zahlen.- 1. Messen und Zählen.- 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen. Prinzip der Verallgemeinerung.- 3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen.- 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff.- 1. Einleitung.- 2. Unendliche Dezimalbrüche.- 3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen.- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimalbrüche.- 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschachtelungen.- 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte.- 3. Bemerkungen über analytische Geometrie.- 1. Das Grundprinzip.- 2. Gleichungen von Geraden und Kurven.- 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzählbarkeit des Kontinuums.- 3. Cantors Kardinalzahlen.- 4. Die indirekte Beweismethode.- 5. Die Paradoxien des Unendlichen.- 6. Die Grundlagen der Mathematik.- 5. Komplexe Zahlen.- 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen.- 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen.- 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln.- 4. Der Fundamentalsatz der Algebra.- 6. Algebraische und transzendente Zahlen.- 1. Definition und Existenz.- Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen.- Ergänzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra).- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf die mathematische Logik.- 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkörper.- Zahlkörper.- I. Teil. Unmöglichkeitsbeweise und Algebra.- 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen.- 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln.- 2. Regelmäßige Vielecke.- 3. Das Problem des Apollonius.- 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkörper.- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch.- 3. Die Unlösbarkeit der drei griechischen Probleme.- 1. Verdoppelung des Würfels.- 2. Ein Satz über kubische Gleichungen.- 3. Winkeldreiteilung.- 4. Das regelmäßige Siebeneck.- 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises.- II. Teil. Verschiedene Konstruktionsmethoden.- 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Eigenschaften der Inversion.- 3. Geometrische Konstruktion in verser Punkte.- 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein.- 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein.- 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Würfels.- Beschränkung auf die Benutzung des Zirkels allein.- 3. Das Zeichnen mit mechanischen Geräten. Mechanische Kurven. Zykloiden.- 4. Gelenkmechanismen. Peaucelliers und Harts Inversoren.- 6. Weiteres über die Inversion und ihre Anwendungen.- 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen.- 2. Anwendung auf das Problem des Apollonius.- 3. Mehrfache Reflexionen.- Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien.- 1. Einleitung.- 1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen.- 2. Projektive Transformationen S..- 2. Grundlegende Begriffe.- 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen.- 2. Der Satz von Desargues.- 3. Das Doppel Verhältnis.- 1. Definition und Beweis der Invarianz.- 2. Anwendung auf das vollständige Vierseit.- 4. Parallelität und Unendlichkeit.- 1. Unendlich ferne Punkte als uneigentliche Punkte.- 2. Uneigentliche Elemente und Projektion.- 3. Doppelverhältnisse mit unendlich fernen Elementen.- 5. Anwendungen.- 1. Vorbereitende Bemerkungen.- 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene.- 3. Der Pascalsche Satz.- 4. Der Satz von Brianchon.- 5. Das Dualitätsprinzip.- 6. Analytische Darstellung.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualität.- 7. Aufgaben über Konstruktionen mit dem Lineal allein.- 8. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung.- 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte.- 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.- 3. Kegelschnitte als Hüllkurven.- 4. Pascals und Brianchons allgemeine Sätze für Kegelschnitte.- 5. Das Hyperboloid.- 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie.- 1. Die axiomatische Methode.- 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie.- 3. Geometrie und Wirklichkeit.- 4. Poincarés Modell.- 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie.- Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen.- 1. Einleitung.- 2. Die analytische Definition.- 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition.- Fünftes Kapitel Topologie.- 1. Die Eulersche Polyederformel.- 2. Topologische Eigenschaften von Figuren.- 1. Topologische Eigenschaften.- 2. Zusammenhang.- 3. Andere Beispiele topologischer Sätze.- 1. Der Jordansche Kurvensatz.- 2. Das Vierfarbenproblem.- 3. Der Begriff der Dimension.- 4. Ein Fixpunktsatz.- 5. Knoten.- 4. Topologische Klassifikation der Flächen.- 1. Das Geschlecht einer Fläche.- 2. Die Eulersche Charakteristik einer Fläche.- 3. Einseitige Flächen.- 1. Der Fünffarbensatz.- 2. Der Jordansche Kurvensatz für Polygone.- 3. Der Fundamentalsatz der Algebra.- Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte.- 1. Variable und Funktion.- 1. Definitionen und Beispiele.- 2. Das Bogenmaß eines Winkels.- 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen.- 4. Zusammengesetzte Funktionen.- 5. Stetigkeit.- 6. Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 7. Funktionen und Transformationen.- 2. Grenzwerte.- 1. Der Grenzwert einer Folge an.- 2. Monotone Folgen.- 3. Die Eulersche Zahl e.- 4. Die Zahl ?.- 5. Kettenbrüche.- 3. Grenzwer…