Homologie des algebres commutatives

(egalite 3. 4). Ce complexe T(A,B) per met de definir les modules d'homo logie de l'algebre (definition 3. 11) Hn(A,B, W) = Yt,,[T(A,B)@B W] et les modules de cohomologie de l'algebre (definition 3. 12) Hn(A,B, W) = Yfn[HomB(T*(A,B), W)]. En particulier l'homologie et la cohomologie d'une algebre libre sont triviales (corollaire 3. 36). Quant au module Ho(A,B,B) il est toujours isomorphe au module des differentielles de Kaehler QBIA (proposition 6. 3). Lorsque l'anneau Best un quotient de l'anneau A, la situation est simple en degre 1 (proposition 6. 1) H (A, B, W) ~ Tor}(B, W) I et en degre 2 (theoreme 15. 8, propositions 15. 9 et 15. 12) H (A,B, W) ~ Tor1(B, W)jTor}(B,B). Tor}(B, W). 2 En ajoutant des variables independantes a l'anneau A, il est d'ailleurs possible de se ramener a ce cas particulier (corollaire 5. 2). Dans cette theorie, les modules d'homologie relative sont en fait des modules d'homologie absolue. De maniere precise: a une A-algebre B et a une B-algebre C correspond une suite exacte, dite de Jacobi Zariski (theoreme 5. 1) . . . --+ Hn(A,B, W) --+ Hn(A, C, W) --+ Hn(B, C, W) -+ H _ I (A, B, W) --+ •••• n De cette suite decoulent des relations entre differentielles de Kaehler (n = 0), algebres lisses (n = 1), anneaux reguliers (n = 2) et intersections completes (n = 3). Une autre propriete fondamentale est la suivante (proposition 4.

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(egalite 3. 4). Ce complexe T(A,B) per met de definir les modules d'homo­ logie de l'algebre (definition 3. 11) Hn(A,B, W) = Yt,,[T(A,B)@B W] et les modules de cohomologie de l'algebre (definition 3. 12) Hn(A,B, W) = Yfn[HomB(T*(A,B), W)]. En particulier l'homologie et la cohomologie d'une algebre libre sont triviales (corollaire 3. 36). Quant au module Ho(A,B,B) il est toujours isomorphe au module des differentielles de Kaehler QBIA (proposition 6. 3). Lorsque l'anneau Best un quotient de l'anneau A, la situation est simple en degre 1 (proposition 6. 1) H (A, B, W) ~ Tor}(B, W) I et en degre 2 (theoreme 15. 8, propositions 15. 9 et 15. 12) H (A,B, W) ~ Tor1(B, W)jTor}(B,B). Tor}(B, W). 2 En ajoutant des variables independantes a l'anneau A, il est d'ailleurs possible de se ramener a ce cas particulier (corollaire 5. 2). Dans cette theorie, les modules d'homologie relative sont en fait des modules d'homologie absolue. De maniere precise: a une A-algebre B et a une B-algebre C correspond une suite exacte, dite de Jacobi­ Zariski (theoreme 5. 1) . . . --+ Hn(A,B, W) --+ Hn(A, C, W) --+ Hn(B, C, W) -+ H _ I (A, B, W) --+ .... n De cette suite decoulent des relations entre differentielles de Kaehler (n = 0), algebres lisses (n = 1), anneaux reguliers (n = 2) et intersections completes (n = 3). Une autre propriete fondamentale est la suivante (proposition 4.

Contenu
Table des matières.- I. Dérivations et différentielles.- a) Définitions.- b) Propriétés.- c) Compléments.- II. Complexes de modules.- a) Complexes simples.- b) Complexes doubles.- c) Foncteurs nuls.- III. Complexes cotangents.- a) Définitions de base.- b) Propriétés élémentaires.- c) Algèbres limites.- IV. Résolutions simpliciales.- a) Théorie simpliciale.- b) Résolutions simpliciales.- c) Quelques isomorphismes.- V. Suites de Jacobi-Zariski.- a) Suites exactes.- b) Démonstrations.- c) Résultats.- VI. Suites régulières.- a) Premiers modules d'homologie.- b) Diviseurs de zéro.- c) Suites régulières.- VII. Extensions de corps.- a) Résultats élémentaires.- b) Extensions séparables.- c) Généralisation.- VIII. Modules simpliciaux.- a) Modules d'homotopie.- b) Premiers résultats.- c) Quasi-applications.- IX. Résolutions pas-à-pas.- a) Préliminaires.- b) Constructions.- c) Naturalité.- X. Modules d'Artin-Rees.- a) Résolutions et homomorphismes.- b) Modules d'Artin-Rees.- c) Anneaux complets.-XI. Algèbres modèles.- a) Généralités.- b) Cas libre.- c) Cas projectif.- XII. Algèbres symétriques.- a) Résultats.- b) Démonstrations.- c) Complexes de Koszul.- XIII. Convergence.- a) Un résultat de Quillen.- b) Isomorphismes et algèbres symétriques.- c) Isomorphismes et modules Tor.- XIV. Algèbres extérieures.- a) Définitions.- b) Résultats.- c) Homomorphismes d'Eilenberg-MacLane.- XV. Deuxièmes modules d'homologie.- a) Préliminaires.- b) Résultats.- c) Une suite exacte.- XVI. Extensions d'algèbres.- a) Définitions et résultats.- b) Algèbres lisses.- c) Théorème de Cohen.- XVII. Dimension homologique.- a) Un résultat de Gulliksen.- b) Dimension homologique.- c) Démonstration.- XVIII. Algèbre homologique.- a) Quelques isomorphismes.- b) Produits tensoriels.- c) Algèbres anticommutatives.- XIX. Algèbres de Hopf.- a) Comultiplications.- b) Algèbres de Hopf.- c) Caractéristique nulle.- XX. Compléments.- a) Exercices.- b) Compléments.- c) Généralisations.- Appendice. Géométrie algébrique.- a) Faisceaux de modules.- b) Algèbre homologique.- c) Complexe cotangent.- d) Changement de base.- e) Résolutions simpliciales.- f) Suites de Jacobi-Zariski.- g) Extensions d'Algèbres.- h) Géométrie algébrique.- Supplément. Algèbres analytiques.- a) Homologie des algèbres analytiques.- b) Anneaux réguliers et intersections complètes.- c) Complexes cotangents acycliques.- Bibliographie.- Index des termes.- Index des symboles.