Differentialgeometrie

Dieses Buch entstand aus Vorlesungen über das Thema "Differentialgeometrie", die der Autor wiederholt und an verschiedenen Orten gehalten hat. Vom Umfang her ent spricht es einer einsernestrigen Vorlesung über klassische Differentialgeometrie (das sind die Kapitel 1-4 des Buches), gefolgt von einer ebenfalls einsernestrigen Vorlesung über Riemannsche Geometrie (Kapitel 5-8). Die wesentlichen Vorkenntnisse sollten in den üblichen Standardvorlesungen des Grundstudiums (1. -3. Semester) bereitgestellt sein: Lineare Algebra und Analysis, einschließlich Differential- und Integralrechnung in meh reren Veränderlichen. Komplexe Funktionen werden lediglich in Abschnitt 3D (Minimal flächen) verwendet. Daher eignet sich das Buch als Begleitlektüre zu einer Vorlesung ab dem 4. Semester, und zwar ausdrücklich auch für Lehramtsstudenten und - das gilt be sonders für das Kapitel 8 - auch für Physikstudenten. Naturgemäß kann der Anspruch nicht sein, dabei wissenschaftliches Neuland zu betreten. Vielmehr geht es um das Be reitstellen der grundlegenden Begriffe und Methoden, die dann - darauf aufbauen- das Studium der größeren Werke zur klassischen und modernen Differentialgeometrie erst ermöglichen. Besonders in den Anfangs-Kapiteln wird großer Wert auf Anschau lichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen dokumentiert wird. Die nach Ansicht des Autors besonders wichtigen Dinge sind in Kästchen eingerahmt, um sie besonders hervorzuheben. Diese stellen sozusagen ein Gerüst des Inhalts dar. Dieses Buch wäre nicht möglich gewesen ohne die Unterstützung meiner Studenten und Mitarbeiter, die zahlreiche Fehler aus den ersten Versionen eliminiert haben.

Diese Einführung in die Differentialgeometrie - ideal auch als Differentialgeometrie-Modul für Bachelor-Studiengänge - richtet sich an Studierende nach einem abgeschlossenen Vorlesungszyklus in Analysis und Linearer Algebra. Zunächst geht es um klassische Aspekte, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. In der 3. Auflage wurden Umstellungen und Ergänzungen vorgenommen, zusätzliche Bilder eingefügt und am Ende des Buches wurden Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Damit ist das Buch jetzt noch besser auch zum Selbststudium geeignet.

Autorentext

Wolfgang Kühnel ist Professor am Mathematischen Institut der Universität Stuttgart.

Klappentext

Eine Einführung in die Differentialgeometrie. Ideal auch als Differentialgeometrie-Modul für Bachelor-Studiengänge. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. Für die dritte Auflage kamen neue Bilder und Hinweise zu den Übungsaufgaben hinzu.

Inhalt
1 Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis.- 2 Kurven im ?n.- 2A Frenet-Kurven im ?n.- 2B Ebene Kurven und Raumkurven.- 2C Bedingungen an Krümmung und Torsion.- 2D Die Frenet-Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie.- 2E Kurven im Minkowski-Raum ?13.- 2F Globale Kurventheorie.- 3 Lokale Flächentheorie.- 3A Flächenstücke, erste Fundamentalform.- 3B Die Gauß-Abbildung und Krümmungen von Flächen.- 3C Drehflächen und Regelflächen.- 3D Minimalflächen.- 3E Flächen im Minkowski-Raum ?13.- 3F Hyperflächen im ?n+1.- 4 Die innere Geometrie von Flächen.- 4A Die kovariante Ableitung.- 4B Parallelverschiebung und Geodätische.- 4C Die Gauß-Gleichung und das Theorema Egregium.- 4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie.- 4E Die Gauß-Krümmung in speziellen Parametern.- 4F Der Satz von Gauß-Bonnet.- 4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie.- 5 Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 5A Der Mannigfaltigkeitsbegriff.- 5B Der Tangentialraum.- 5C Riemannsche Metriken.- 5D Der Riemannsche Zusammenhang.- 6 Der Krümmungstensor.- 6A Tensoren.- 6B Die Schnittkrümmung.- 6C Der Ricci-Tensor und der Einstein-Tensor.- 7 Räume konstanter Krümmung.- 7A Der hyperbolische Raum.- 7B Geodätische und Jacobi-Felder.- 7C Das Raumformen-Problem.- 7D Dreidimensionale euklidische und sphärische Raumformen.- 8 Einstein-Räume.- 8A Die Variation des Hilbert-Einstein-Funktionals.- 8B Die Einsteinschen Feldgleichungen.- 8C Homogene Einstein-Räume.- 8D Die Zerlegung des Krümmungstensors.- 8E Die Konformkrümmung.- 8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov-Typen.- Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben.- Literatur.- Verzeichnis mathematischer Symbole.