Mersenne- und Fermat-Primzahlen oder auf der Suche nach großen Primzahlen

Wie findet man Primzahlen? Schon in der späteren Schulzeit hat mich diese Frage interessiert, da es anscheinend kein effizientes Verfahren hierzu gibt. Es scheint stattdessen sogar, als sei die Verteilung von Primzahlen zufällig auf dem Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen verstreut, wobei diese bei zunehmender Größe rarer werden. Einige Verfahren existieren jedoch, mit deren Hilfe sich Primzahlen aufspüren lassen. Zwar gibt es bis zur bis heute größten gefundenen Primzahl vermutlich noch weitere, kleinere, die sich noch nicht offenbart haben und zu denen es bislang keinen effizienten mathematischen Zugang zum Aufspüren gibt, doch können einige auf schnellem Wege dennoch gefunden werden. In dieser Arbeit sollen vorrangig diese effizienten Methoden beschrieben werden, mit denen sich gezielt große Primzahlen von besonderer Bauart finden lassen. Tieferen Einblick hierzu bekam ich durch das fachwissenschaftliche Seminar zur Kryptographie, in dem ich mich mit zwei solcher Verfahren intensiv beschäftigt habe. Neben Fermat entwickelte insbesondere Mersenne seinerzeit einen einfachen Weg, große Primzahlen zu bestimmen. Kurzbiographien zu den beiden Mathematikern sind dem folgenden Kapitel zu entnehmen. Anschließend werde ich mich auf diese beiden Verfahren beschränken und daher auf die sogenannten Mersenne- und Fermat-Zahlen eingehen, welche unter bestimmten Voraussetzungen Primzahlen - wenn auch nicht sämtliche - liefern. Entsprechende Sätze und Beweise finden sich in den Kapiteln 4.3 und 4.4 wieder, wobei sich ersteres speziell mit Mersenne-Zahlen, letzteres mit den Fermat-Zahlen befasst. Um die Beweisführung verständlicher zu gestalten, habe ich am Ende dieser Arbeit einen ausführlichen Anhang erstellt. Dabei entscheide ich mich bewusst dagegen, die im Anhang befindlichen Zwischenschritte direkt in die Beweise zu integrieren, um einen angenehmeren Lesefluss zu ermöglichen. Der Leser kann nun selbst entscheiden, ob er - falls Bedarf besteht - auf den Anhang zurückgreifen oder sich bei ausreichendem Verständnis lediglich auf die Beweise an sich beschränken möchten. Des weiteren wird erklärt, weshalb große Primzahlen in der modernen Kryptographie eine solch wichtige Rolle spielen. Da bis vor relativ kurzer Zeit Primzahlen in der Praxis kaum Anwendung fanden und hauptsächlich erst in der modernen Kryptographie Verwendung finden, gehe ich in Kapitel 3 auf die essentielle Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie ein. [...]

Klappentext

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Algebra, Universität Hildesheim (Stiftung), Sprache: Deutsch, Abstract: Wie findet man Primzahlen? Schon in der späteren Schulzeit hat mich diese Frage interessiert, da es anscheinend kein effizientes Verfahren hierzu gibt. Es scheint stattdessen sogar, als sei die Verteilung von Primzahlen zufällig auf dem Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen verstreut, wobei diese bei zunehmender Größe rarer werden. Einige Verfahren existieren jedoch, mit deren Hilfe sich Primzahlen aufspüren lassen. Zwar gibt es bis zur bis heute größten gefundenen Primzahl vermutlich noch weitere, kleinere, die sich noch nicht offenbart haben und zu denen es bislang keinen effizienten mathematischen Zugang zum Aufspüren gibt, doch können einige auf schnellem Wege dennoch gefunden werden. In dieser Arbeit sollen vorrangig diese effizienten Methoden beschrieben werden, mit denen sich gezielt große Primzahlen von besonderer Bauart finden lassen. Tieferen Einblick hierzu bekam ich durch das fachwissenschaftliche Seminar zur Kryptographie, in dem ich mich mit zwei solcher Verfahren intensiv beschäftigt habe. Neben Fermat entwickelte insbesondere Mersenne seinerzeit einen einfachen Weg, große Primzahlen zu bestimmen. Kurzbiographien zu den beiden Mathematikern sind dem folgenden Kapitel zu entnehmen. Anschließend werde ich mich auf diese beiden Verfahren beschränken und daher auf die sogenannten Mersenne- und Fermat-Zahlen eingehen, welche unter bestimmten Voraussetzungen Primzahlen - wenn auch nicht sämtliche - liefern. Entsprechende Sätze und Beweise finden sich in den Kapiteln 4.3 und 4.4 wieder, wobei sich ersteres speziell mit Mersenne-Zahlen, letzteres mit den Fermat-Zahlen befasst. Um die Beweisführung verständlicher zu gestalten, habe ich am Ende dieser Arbeit einen ausführlichen Anhang erstellt. Dabei entscheide ich mich bewusst dagegen, die im Anhang befindlichen Zwischenschritte direkt in die Beweise zu integrieren, um einen angenehmeren Lesefluss zu ermöglichen. Der Leser kann nun selbst entscheiden, ob er - falls Bedarf besteht - auf den Anhang zurückgreifen oder sich bei ausreichendem Verständnis lediglich auf die Beweise an sich beschränken möchten. Des weiteren wird erklärt, weshalb große Primzahlen in der modernen Kryptographie eine solch wichtige Rolle spielen. Da bis vor relativ kurzer Zeit Primzahlen in der Praxis kaum Anwendung fanden und hauptsächlich erst in der modernen Kryptographie Verwendung finden, gehe ich in Kapitel 3 auf die essentielle Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie ein. [...]