Mathematik in den Life Sciences

Was hat Mathematik mit den Lebenswissenschaften zu tun? Kann man die belebte Natur überhaupt in Formeln fassen? Und wenn ja, warum sollte man das? Naturwissenschaftliches Verständnis von Lebensvorgängen gewinnt man, indem man Theorien an Beobachtungen und Experimenten misst. In diesem Prozess spielt Mathematik sowohl bei der Theoriebildung Stichwort: Modellierung als auch bei der Überprüfung der Theorie an der Realität Stichwort: Statistik eine wichtige Rolle. Anders als in herkömmlichen Lehrbüchern bilden daher Modellbildung und Statistik den Kern dieses einführenden Buches. Viele Beispiele werden mit der freien Statistiksoftware R bearbeitet, und der Anhang bietet eine anwendungsorientierte Einführung in R durch Learning by Doing. Aus dem Inhalt: - Wachstums- und Populationsmodelle - Grafische Darstellung von Daten und beschreibende Statistik - Modellierung mit Differenzialgleichungen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Testen und Schätzen - Korrelation und Regression - Sequence Alignment

Autorentext
Prof. Dr. Gerhard Keller lehrt Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg.

Inhalt
1 Einführung 11 1.1 Warum Mathematik? 11 1.2 Vorbereitende und ergänzende Literatur 13 2 Mathematische Grundbegriffe 15 2.1 Zahlen 15 2.2 Rechenregeln 16 2.3 Zahlen als Messergebnisse 17 2.3.1 Messgenauigkeit, Runden 17 2.3.2 Maßeinheiten 18 2.3.3 Mol und Molekulargewicht 18 2.4 Vektoren, Matrizen 19 2.5 Matrizenmultiplikation 21 2.6 Zahlenfolgen 22 2.7 Funktionen 23 2.8 Bemerkungen zum Rechnen mit Logarithmen 25 2.9 Fragen und Aufgaben 25 3 Differenzieren, Ableitung 27 3.1 Ableitung von Funktionen einer Variablen 27 3.2 Ableitungsregeln 29 3.3 Integral und Stammfunktion 32 3.4 Partielle Ableitungen 33 3.5 Fragen und Aufgaben 34 4 Grafische Darstellung von Daten und beschreibende Statistik 35 4.1 Datenvektoren und Datenmatrizen 35 4.2 Beschreibende Statistik Grundbegriffe 37 4.3 Eindimensionale Stichproben 38 4.3.1 Nominale Merkmale 38 4.3.2 Metrische Merkmale 39 4.3.3 Statistische Kennzahlen 41 4.4 Zweidimensionale Stichproben 43 4.5 Lineare Regression 45 4.6 Allometrie 48 4.7 Fragen und Aufgaben 51 5 Wachstumsmodelle: unbeschränktes Wachstum 53 5.1 Lineares Wachstum 53 5.2 Exponentielles Wachstum diskrete Zeit 54 5.2.1 Modellwahl 58 5.2.2 Quadratische Abweichung 59 5.3 Exponentielles Wachstum stetige Zeit 60 5.3.1 Von diskreter zu stetiger Zeit 60 5.3.2 Die Differenzialgleichung für exponentielles Wachstum in stetiger Zeit 61 5.3.3 Kommentar aus der Sicht der Mathematik 62 5.3.4 Lineare Regression bei exponentiellem Wachstum 63 5.3.5 Zusammenfassung zum exponentiellen Wachstum: 64 5.3.6 Exponentielles Aussterben 64 5.3.7 Verdopplungszeit, Halbwertzeit 65 5.4 Fragen und Aufgaben 66 6 Wachstumsmodelle: beschränktes Wachstum 67 6.1 Logistisches Wachstum 67 6.1.1 Ein paar grundsätzliche Bemerkungen zum Begriff der Differenzialgleichung 71 6.1.2 Bemerkungen zum numerischen Lösen einer Differenzialgleichung 72 6.1.3 Anpassung des logistischen Modells an Daten 73 6.1.4 Ein Residuenplot 74 6.2 Stabilisierung bei konstantem Zu?uss und exponentiellem Abbau 75 6.3 Variationen zum logistischen Wachstum 76 6.3.1 Ein logistisches Modell mit Bejagung 76 6.3.2 Ein Modell mit zwei stabilen Gleichgewichten 79 6.4 Zeitverzögerungen 80 6.5 Zwei Modelle der chemischen Reaktionskinetik 81 6.6 Fragen und Aufgaben 85 7 Modelle der Populationsgenetik 87 7.1 Das Hardy-Weinberg-Modell 87 7.2 Inzucht 91 7.3 Selektion 92 7.4 Fragen und Aufgaben 97 8 Wachstumsmodelle: zwei Populationen 98 8.1 Das Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra 98 8.2 Ein einfaches Epidemiemodell 103 8.3 Fragen und Aufgaben 105 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 106 9.1 Zufallsvariablen 106 9.1.1 Diskrete Zufallsvariablen 107 9.1.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen 108 9.2 Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen 109 9.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 110 9.2.2 Die Binomialverteilung 110 9.3 Unabhängigkeit kontinuierlicher Zufallsvariablen 112 9.4 Histogramm unabhängiger Beobachtungen 112 9.5 Erwartungswert und Varianz 113 9.5.1 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 113 9.5.2 Erwartungswert und Varianz kontinuierlicher Zufallsvariablen 115 9.6 Normal-und Poisson-Approximation der Binomialverteilung 116 9.6.1 Verteilungsfunktionen binomialverteilter Zufallsvariablen 116 9.6.2 Normalapproximation der Binomialverteilung 117 9.6.3 Poisson-Approximation der Binomialverteilung 118 9.7 Fragen und Aufgaben 119 10 Beurteilende Statistik: Testen 120 10.1 Der Binomialtest 120 10.1.1 Formulierung des Testproblems 120 10.1.2 Durchführung des Tests 121 10.1.3 Unabhängigkeit der Beobachtungen 122 10.2 Chi-Quadrat-Tests 123 10.3 Fragen und Aufgaben 129 11 Beurteilende Statistik: Schätzen 131 11.1 Schätzen von Erfolgswahrscheinlichkeiten 131 11.2 Kon?denzintervall für den Erwartungswert 134 11.2.1 Kon?denzintervall bei normalverteilten Beobachtungen 135 11.2.2 Der Ein-Stichproben-t-Test 136 11.3 Fragen und Aufgaben 137 12 Beurteilende Statistik: Korrelation und Regression 138 12.1 Ist der Korrelationskoef?zient signi?kant von Null verschieden? 138 12.2 Die statistische Beurteilung der geschätzten Regressionskoef?zienten 140 12.3 Vorsicht bei linearer Regression 142 12.4 Fragen und Aufgaben 142 13 Einführung in das Sequenz-Alignment 143 13.1 Scoring-Modelle zur Bewertung von Alignments 143 13.1.1 Scoring bei DNA-Alignments 143 13.1.2 Scoring bei Proteinsequenz-Alignments 144 13.2 Scores und Wahrscheinlichkeiten 146 13.3 Der Needleman-Wunsch-Algorithmus 148 13.3.1 Die Grundidee des Needleman-Wunsch-Algorithmus 149 13.3.2 Eine Realisierung des Needleman-Wunsch-Algorithmus für den Vergleich zweier DNA-Sequenzen in R 151 13.3.3 Beispiele zum Needleman-Wunsch-Algorithmus 152 13.3.4 Der Smith-Waterman-Algorithmus 153 13.4 Clustering 154 13.5 Fragen und Aufgaben 156 R Einführung in R 157 R1 Erste Schritte 158 R1.1 R als Taschenrechner 158 R1.2 Eine erste Gra?k 161 R2 Grundlegende Begriffe 162 R2.1 Variablen 162 R2.2 Folgen 163 R2.3 Die erzeugten Objekte 165 R3 Funktionen, Nullstellen, Maxima, Minima, R-Hilfe 166 R3.1 Funktionen 166 R3.2 Funktionsgraphen 167 R3.3 Hilfe in der Dokumentation 168 R3.4 Nullstellen, Maxima und Minima 169 R4 Funktionen mehrerer Variablen, der Workspace von R 171 R4.1 Funktionen mehrerer Variablen 171 R4.2 Wie funktioniert R im Hintergrund? 172 R5 Vektoren, Matrizen, der Dateneditor 174 R5.1 Vektoren 174 R5.2 Matrizen 176 R6 Matrizenmultiplikation, Dotplots 180 R6.1 Matrizenmultiplikation 180 R6.2 Der Befehl outer() 182 R6.3 Eine Vergleichstabelle für Sequenzvergleiche und ein Dotplot 183 R7 Datensätze, R Commander, beschreibende Statistik 185 R7.1 Der R Commander 185 R7.2 Datensätze 186 R7.3 Speichern von Programmen und Objekten 189 R7.4 Lineare Regression und Korrelation 190 R8 Datenim-und -export, Gra?kexport 193 R8.1 Erstellen und Einlesen eigener Datensätze 193 R8.2 Gra?k-Export 195 R9 Exponentielles Wachstum und Abklingen 197 R9.1 Zinseszins mit R als Taschenrechner 197 R9.2 Exponentielles Wachstum US-Bevölkerungsdaten 197 R9.3 Exponentieller Abbau Medikamentenabbau im Körper 198 R10 Nichtlineare Regression 200 R10.1 Logistisches Wachstum US-Bevölkerungsdaten 201 R10.2 Biexponentielles Abklingen 201 R10.3 Michaelis-Menten-Funktion 202 R11 Binomial-, Normal-und Poisson-Verteilung 203 R11.1 Die Binomialverteilung 203 R11.2 Die Normalverteilung 204 R11.3 Die Poisson-Verteilung 205 R11.4 Plotten von Dichten und Verteilungsfunktionen 205 R12 Binomialtest und Chi-Quadrat-Tests 206 R12.1 Die Binomialverteilung und der Binomialtest 206 R12.2 _x²-Tests 208 R13 Schätzen und Testen bei normalverteilten Beobachtungen 209 R13.1 Kon?denzintervalle bei normalverteilten Beobachtungen 209 R13.2 Ein-Stichproben-t-Test 211 R13.3 Zwei-Stichproben-t-Test verbundene Strichproben 212 R13.4 Statistik zur linearen Regression 213 R14 Sequence Alignment 214 R14.1 Die Datenbank Genbank 214 R14.2 Die Bereitstellung von Sequenzen für R 215 R14.3 Needleman-Wunsch-Algorithmus für Protein-Seq…